Как найти корень числа: простые способы без калькулятора

С помощью калькулятора корень любого числа извлекается элементарно. Но на экзаменах придется делать это без гаджета. Поэтому важно усвоить простые способы извлечения корня.

Как найти квадратный корень? Есть простые способы: метод деления целых чисел, поиск дробных корней из любых чисел, поиск среднего арифметического. Также есть алгоритм поиска корня из больших чисел.

Метод деления

Образовательный онлайн-ресурс Mathematics Libre Texts объясняет, что найти квадратный корень из числа — это значит, найти такое число, которое при умножении на себя даст исходное число, то есть то, из которого задано найти корень.

В математике, учебной и научной литературе квадратный корень обозначают специальным символом, который называется радикал (√). Он имеет вид галочки, которая иногда на письме продолжается верхней горизонтальной линией. Число под знаком корня называется подкоренное выражение (число, из которого надо извлечь корень). Например, если задано извлечь корень из 9, то это будет выглядеть так: √9=3.

В математике есть ряд чисел, которые называются полным квадратом или идеальным, совершенным квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Это целые числа, которые делятся на некоторое число так, что в результате получается число, совпадающее с делителем.

Найти эти корни можно с помощью деления: 4÷2=2, 9÷3=3, 16÷4=4, 25÷5=5, 36÷6=6, 49÷7=7, 64÷8=8, 81÷9=9, 100÷10=10. Это значит, что √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10. Корнями из таких квадратов всегда будут целые числа, а не дроби.

Ряд чисел, которые называются полными квадратами, рекомендуется запомнить, чтобы при необходимости их легко узнавать. Сайт крупнейшего в мире издателя образовательных ресурсов Twinkl предлагает рабочий лист, на котором выписаны полные квадраты.

Метод поиска дробного числа

Из чисел, которые не входят в ряд полных квадратов, тоже приходится извлекать квадратные корни. Это можно сделать из любого числа, но процесс будет труднее — методом проб.

Как извлечь корень из любого числа? Для этого надо определить, какие есть рядом полные квадраты, а затем в диапазоне между ними искать дробное число, которое при умножении на себя даст исходное число.

Рассмотрим, как действовать, чтобы извлечь корень, например, из числа 20:

1. Вспомните, какие есть полные квадраты близкие к числу 20. Это числа 16 и 25 (√16=4 и √25=5). Значит корень из 20 будет находиться в диапазоне между числами 4 и 5.
2. Рассмотрите среднее между ними число 4,5, умножьте его на самого себя, то есть возведите в квадрат: 4,5×4,5=20,25. Число получается больше 20, поэтому рассматривайте варианты с меньшим числом, например: 4,4×4,4=19,36. Теперь число меньше 20, значит корень из 20 надо искать между 4,5 и 4,4. Возьмите число 4,445: 4,445×4,445=19,758. Это уже близко, но еще меньше 20.

Продолжая поиск, придете к такому решению: 4,475×4,475=20,03. Такой результат округлите и получите 20. Таким образом, получаем ответ: √20=4,475.

С помощью среднего арифметического

Из чисел, которые не относятся к полным квадратами, можно извлечь корень еще одним способом — методом усреднения, то есть поиском среднего арифметического. Например, чтобы извлечь корень из 10, примените такой алгоритм действий:

1. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится число 10. Это будут числа 9 и 16 (√9=3, √16=4). Следовательно, корень из 10 следует искать в диапазоне чисел от 3 до 4. Очевидно, что это будет какое-то дробное число.
2. Разделите число, из которого надо найти корень (10), на квадратный корень из первого полного квадрата: 10÷3=3,33.
3. Найдите среднее арифметическое от 3 и 3,33: (3+3,33)÷2=3,167.
4. Разделите 10 на это среднее арифметическое: 10÷3,167=3,1579.
5. Теперь найдите среднее арифметическое между двумя последними результатами: (3,167+3,1579)÷2=3,1623.

Остается проверить, будет ли число 3,1623 корнем из 10. Для этого умножьте его на самого себя: 3,1623×3,1623=10,001. Значит ответ: √10=3,1623.

Извлечение корня квадратного из больших чисел

Есть простой способ извлечения корня из больших чисел. С помощью этого алгоритма сможете делать действие быстро и после некоторой тренировки почти устно. Например, если надо извлечь корень из числа 3364, выполните последовательно такие действия:

1. Ограничьте искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Начинайте с возведения в квадрат числа от 10 и дальше: 10²=100, 20²=400 и так далее. Это легко сделать устно. При дальнейшем поиске обнаружите, что число 3364 расположено между 50² (2500) и 60²(3600). Это и будет нижняя и верхняя границы поиска. Из этого следует, что искомый корень из 3364 будет не меньше 50² и не больше 60², а нужное число надо искать между числами 50 и 60. В результате такого простого действия сократили диапазон поиска до десяти чисел.
2. Вторым шагом будет отсев чисел, которые точно не могут быть корнями из 3364. Для этого обратите внимание на последнюю цифру этого числа — 4: сразу поймете, на что заканчивается то число, которое ищете. На 4 могут заканчиваться квадраты чисел 2, то есть (2²=4), и 8 (8²=64). Этот шаг подсказывает, что квадрат от 3364 будет заканчиваться или на 2, или на 8. В определенном первым действием диапазоне от 50 до 60 это могут быть только два числа — 52 или 58.
3. На третьем шаге остается сделать финальные вычисления — возвести в квадрат последовательно оба числа: 52²=2704; 58²=3364. Становится очевидным, что искомым числом будет второе число из предполагаемых: √3364=58.

Предложенный алгоритм позволил в 3 шага найти корень из большого числа. Таким образом, можно находить квадратные корни из любых многозначных чисел, но они не всегда будут получаться целыми. В более сложных случаях придется дополнить этот способ рассмотренным ранее методом поиска дробного числа или среднего арифметического.

Извлечь квадратный корень из чисел в разных заданиях поможет один из предложенных способов. Это умение пригодится в дальнейшем на экзаменах по математике или физике, когда калькуляторами пользоваться нельзя.