Математический парадокс: самые интересные и противоречивые

Математические парадоксы противоречат здравому смыслу и кажутся невероятными. Теоремы, которые основаны на логике, могут быть странными и сложными для понимания. Какие из математических парадоксов вызывают у общества самый живой интерес?

Парадокс выворачивания сферы

В чем суть парадокса выворачивания сферы? Она стоит в том, что чашка эквивалентна тороиду (поверхности вращения), которая внешне напоминает пончик. Это доказывает топология — раздел математики по изучению явления непрерывности, свойств пространства и типов деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний.

Примером объекта, который изучает топология, служит лента Мёбиуса. У ее поверхности только одна сторона и один край. Проще говоря, пончик можно вывернуть так, чтобы он превратился в чашку кофе, используя скручивание и растягивание. Для этого достаточно проделать следующие действия:

• Установить пончик вертикально.
• Расширить его в одну сторону.
• Вдавить верхушку с этой же стороны.

Топологи давно пытаются ответить на вопрос, можно ли вывернуть сферу. Это кажется невозможным, но есть видео, наглядно демонстрирующее, что это реально. Способ выворачивания сфер создал французский тополог Бернард Морин.

Парадокс ограниченности групп орнаментов

В чем суть математического парадокса ограниченности групп орнаментов? Если варианты рисунков на обоях кажутся людям неограниченными, то это заблуждение. В архитектуре и декоративном искусстве существует всего семнадцать групп орнаментов (групп плоской симметрии, плоских кристаллографических групп).

Говоря математическим языком, количество геометрических шаблонов конечно. Сгруппировать по этим шаблонам можно разные рисунки, это могут быть:

• Рисунки любого художника-графика, например Маурица Корнелиса Эшера.
• Изображения на обоях.
• Дизайны керамической плитки.

Группы орнаментов — это двумерные группы симметрии. Неважно, какого размера, цвета, стиля или ориентации рисунок, он все равно легко впишется в одну из семнадцати групп.

Парадокс кучи

В чем суть математического парадокса кучи? Он состоит в том, что невозможно точно определить, в какой момент одно зернышко становится кучей или, наоборот, когда куча перестанет быть кучей, если удалять из нее по одному зерну.

Получается, что добавление по одному зернышку к совокупности не становится неоспоримой предпосылкой для образования кучи. Так в какой момент времени одно зернышко становится тем, что называют кучей?

Этот логический математический парадокс в IV веке до нашей эры впервые сформулировал древнегреческий философ Евбулид. Другое название парадокса кучи — парадокс сорита. На основании этого Евбулид сформулировал другие парадоксы. Среди них парадокс лысого, который в форме вопроса звучит так: «Если волосы на голове выпадают по одному, то с какого момента человек считается лысым?».

Парадокс Галилея

В чем суть математического парадокса Галилея? Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел. Пример: во множестве 1, 2, 3, 4 содержится столько же элементов, как и во множестве, которое было образовано при возведении цифр первого множества в квадрат: 1, 4, 9, 16.

Галилей описал парадокс в своей последней работе «Две науки», в которой привел суждения, которые противоречат друг другу:

• Некоторые числа — точные квадраты других целых чисел.
• У каждого натурального числа есть его точный квадрат.

Выходит, что точных квадратов вместе с обычными числами должно быть больше, чем самих точных квадратов. Галилей нашел противоречие своей же теории, описанной им ранее в «Науках». Его теорию доработал немецкий математик Георг Кантор, введя понятие «мощность множества».

Парадокс спирали простых чисел

В чем суть математического парадокса спирали простых чисел? Американский и польский математик Станислав Улам на одном скучном докладе решил развлечь себя рисованием. Он расчертил лист бумаги вертикальными и горизонтальными линиями, решив набросать шахматный этюд. Но передумал и начал нумеровать клетки. Центральную обозначил единицей и стал писать цифры в порядке возрастания по спирали влево.

Вскоре он обнаружил закономерность: если записывать целые числа по спирали, простые числа (делятся на единицу и на себя), выстраиваются вдоль диагональных линий. При этом они лежат на одних диагоналях, но их практически нет на других. Интересно, что закономерность наблюдается вне зависимости от того, с какого числа начать писать цифровую спираль.

Парадокс скатерть Улама был назван в честь человека, который ее открыл. Вместе с единомышленниками Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом математик продолжал изучение спирали простых чисел. Позже появились другие вариации «скатерти Улама»:

• Треугольник Клаубера.
• Спираль Сакса.

Парадокс дней рождения (принцип Дирихле)

Принцип Дирихле впервые в 1939 году изучил австрийский математик и механик Рихард Мизес. Он был основан на принципе здравого смысла, который сформулировал немецкий математик Петер Густав Дирихле. На примере готовых математических расчетов парадокс дней рождения рассмотрел Джозеф Мазур в книге «Игра случая. Математика и мифология совпадения».

В чем суть математического парадокса дней рождения? Если взять произвольную группу из 23+ человек, то вероятность совпадения дат дня рождения у 2 членов группы превысит 50%. Когда число людей в группе станет более 60, вероятность совпадения достигнет 99%. В группе численностью более 367 человек у 2 человек обязательно будут дни рождения в один и тот же день.

Само утверждение может показаться неочевидным, но математические расчеты подтверждают его справедливость, и в этом состоит суть парадокса дней рождения.

Парадокс Тристрама Шенди

В чем суть математического парадокса Тристрама Шенди? Следуя логике главного героя незаконченного юмористического романа «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» Лоренса Стерна, можно сказать следующее: если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

В книге герой сетует на то, что для изложения первого дня жизни ему понадобился целый год, и столько же он потратил на описание второго дня. Он считает, что автобиографический материал будет накапливаться быстрее, чем он будет его обрабатывать и излагать на бумаге. Так его биография никогда не будет завершена.

Апеллируя к его аргументам, британский философ, логик, математик и общественный деятель Бертран Рассел вывел утверждение, что если бы он даже жил вечно и не устал от написания автобиографии, он смог бы дописать книгу своей жизни в полном объеме. Это подтверждает Н. Бурбаки (псевдоним группы французских математиков) в книге «Теория множеств».

Дихотомия Зенона, или парадокс математической модели движения

В чем суть математического парадокса теории движения? Для преодоления всего пути необходимо пройти его половину. Но чтобы преодолеть данную половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины. И так будет продолжаться до бесконечности. Вывод: движение невозможно.

Этот парадокс был назван дихотомией Зенона, в честь древнегреческого философа Зенона Элейского, известного своими апориями — парадоксальными утверждениями. Дихотомия Зенона легла в основу фантастического рассказа «О неутомимой лягушке» писателя Филипа Дика.

Парадокса маляра

В чем суть математического парадокса маляра? Фигура с бесконечной площадью поверхности может быть окрашена конечным количеством краски. Как объясняет А. А. Панов, утверждение строится на том факте, что вся фигура покрывается слоем краски неодинаковой толщины. В этом и состоит суть малярного парадокса.

Предполагается, что каждый последующий сегмент фигуры будет покрыт все более тонким слоем краски. Это возможно, если фигура будет образованна в результате вращения вокруг горизонтальной оси кривой функции y=1/х (рог или конус).

Используя расчеты площади и объема такой фигуры, можно прийти к выводу, что бесконечно длинный рог имеет конечный объем, и он равен 2π. Площадь поверхности такой фигуры будет бесконечной.

Математические парадоксы хороши тем, что заставляют задуматься. Они наглядно демонстрируют, что математика — интересная наука, которая применима к повседневности. Изучая интересные математические парадоксы можно расширить мировоззрение, найти ответы на вопросы и стать автором новых научных открытий.